Las matemáticas y su carácter formativo

LAS MATEMÁTICAS Y SU CARÁCTER FORMATIVO

            Por. J. Agustín Flores Avila.

Introducción.-

En el diario batallar de los profesores de matemáticas por enseñar tal disciplina a sus alumnos, se pierde de vista su objetivo esencial que es, “desarrollar una estructura mental propia de cada una de sus ramas” y que tiene un carácter, antes que informativo, FORMATIVO.

Sea por la razón que sea, generalmente el profesor de matemáticas agota su labor enfocando sus esfuerzos a cubrir el carácter informativo de esta ciencia. En este sentido, su labor se concreta a enseñarle -en la acepción de mostrarle- al alumno un conjunto de procedimientos rutinarios suficientes para efectuar una serie de operaciones que luego utilizará para resolver una clase de problemas de aplicación cuyo simple enunciado le indica el procedimiento a seguir para encontrar la solución, según consigna Guillermina Walden. (Reporte de Investigación Cinvestav, 1982).

La habilidad para realizar operaciones rutinarias y la capacidad para resolver problemas elementales, NO es el objetivo del aprendizaje de las Matemáticas; y menos en una escuela de ingeniería en donde se asume que egresarán profesionistas capaces de enfrentar con posibilidades de éxito problemas nuevos.

Pero esta capacidad solamente la garantiza el real aprendizaje de las matemáticas concebida como una disciplina formativa; como una disciplina capaz de transformar al ser humano. Transformación que se puede observar como una modificación de su conducta. Esta modificación implica un cambio de su actitud ante los problemas y de sus capacidades y habilidades para resolverlos y esto se alcanza mediante el desarrollo de las estructuras mentales que solamente el aprendizaje de las matemáticas hace posible. Esta modificación finalmente incide en la cosmovisión del alumno. En como se concibe a si mismo, como concibe su entorno y como se concibe inserto en él, en palabras de Koestler  (Los Sonámbulos, Grijalvo).

Estructuras Mentales.-

Luis Moreno Armella nos dice que: “Una estructura cognoscitiva puede verse como un sistema organizado de representaciones mentales que se relacionan entre sí mediante una forma de operarlas. Las operaciones involucradas son interiorizaciones de acciones sobre los objetos representados”. (Matemáticas y Educación: Matemática Educativa, Editorial Iberoamérica, S. A. De C. V. México 1999).

Por su parte, Ramiro Avila Godoy nos dice que el Pensamiento Variacional, que se desarrolla mediante el aprendizaje del cálculo, es: “Una estructura mental formada por un nuevo sistema de conceptos, gráficas, datos numéricos y expresiones analíticas concebidas como representaciones, de manera que una cantidad esta variando con respecto a otra y cuyo propósito sea analizar e interpretar la variación de estas cantidades”. (Tesis Doctoral, 1998).

De acuerdo con lo anterior, una estructura mental viene a ser un sistema de conceptos bien definidos, junto con una colección de datos numéricos que se corresponden con una representación gráfica y que se encuentran respaldados por una serie de expresiones analíticas, lo que permite el desarrollo de una capacidad particular para enfrentar, con elevadas posibilidades de éxito, los diferentes  problemas que encontramos en una rama particular de las matemáticas.

 El desarrollo de una estructura mental particular se da mediante el estudio de la correspondiente rama de las matemáticas. Tiene un carácter “holístico local”, en el sentido de Kuhn, ya que no es posible desarrollarla paso a paso o en forma parcial. Su desarrollo es completo en el sentido de que se “tiene o no se tiene” y, lo que es más, no se tiene conciencia de su desarrollo hasta en tanto no se detecta mediante una “abstracción reflexiva” en el sentido de Dubinsky. (Reflective Abstraction and Mathematics Education: 1986).

Sin hacer referencia explícita a una estructura mental y no obstante que su interés era el estudio de la mecánica, Kuhn, en su ensayo: ¿Qué son las revoluciones científicas? contenido en el texto del mismo nombre, cuenta la toma de conciencia de la posesión de la estructura mental adecuada que le permitió entender la mecánica de Aristóteles. (¿Qué son las revoluciones científicas?. Y otros ensayos 1989).

Dejemos que sea el mismo Kuhn quien nos cuente su experiencia:

“Estaba sentado a mi mesa con el texto de la Física de Aristóteles delante de mí y un bolígrafo de cuatro colores en la mano. Levantando los ojos miré abstraídamente por la ventana de mi habitación y aún retengo la imagen visual. Súbitamente, los fragmentos en mi cabeza se ordenaron por si mismos de un modo nuevo, encajando todos a la vez. Se me abrió la boca porque de pronto Aristóteles me pareció un físico realmente bueno, aunque de un tipo que yo nunca hubiera creído posible. Ahora podía comprender por qué había dicho lo que había dicho y cuál había sido su autoridad. Afirmaciones que me habían parecido previamente grandes errores, ahora me parecían, en el peor de los casos, errores de poca importancia dentro de una tradición poderosa, y en general fructífera. Este tipo de experiencia –las piezas ordenándose súbitamente por sí mismas y apareciendo juntas de un modo nuevo- es la primera característica del cambio revolucionario que distinguiré después de una consideración adicional de ejemplos”.

El desarrollo de esta estructura mental, lo reseña Kuhn como un esfuerzo continuo por comprender la física de Aristóteles. En la introducción del texto mencionado, Antonio Beltrán señala que “.  .  .  tras arduo esfuerzo y mucha lectura, Kuhn, consiguió pensar a Aristóteles desde la propia obra de éste.  .  .  “ (Pag. 16 op. cit.).

Los seguidores del constructivismo distinguen las siguientes estructuras mentales características del Pensamiento:

·        Aritmético.

·        Algebraico.

·        Geométrico Espacial

·        Probabilístico.

·        Variacional.

·        Complejo.

Conclusión.-

A los profesores de matemáticas no nos queda mas que rescatar el carácter formativo de esta disciplina y enfocar nuestro esfuerzos al logro de tal fin, ya que en el proceso de aprendizaje de las matemáticas y al ir avanzando en su dominio, desde la aritmética hasta las estructuras algebraicas, la transformación que va sufriendo el hombre se da en la conformación de estructuras mentales características de cada una de las ramas de las matemáticas que va dominando.

Efecto Apolo

El Efecto Apolo.

Por.  J. Agustín Flores Avila.

[Apolo: Dios de la mitología griega hijo de

Zeus y de Letona y representado por el Apolo

de Belvedere considerado prototipo

de la perfección y la belleza plástica masculina

Pequeño Larousse ilustrado-1993].

En la búsqueda de alternativas que permitan alcanzar niveles aceptables de rendimiento en la enseñanza de las matemáticas, los especialistas en este campo del quehacer humano han realizado  múltiples y diversas investigaciones cuyos resultados enriquecen nuestra cultura científica y le vienen a dar sustento al trabajo del profesor en el aula.

Los niveles de rendimiento casi siempre están ligados a los índices de reprobación, expulsión y rechazo achacables a las matemáticas. En nuestra institución, en forma global y en los primeros semestres, tales índices promedian el 50 %. Dada las características de comunicación que se dan entre los diversos sectores que integran nuestro subsistema, la problemática que enfrentan las otras instituciones hermanas debe ser la misma.

Investigadores del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav, del Centro Interdisciplinario de Investigación y Docencia en Educación Técnica, (Ciidet), de Universidades Estatales como las de Guerrero, Morelia, Sonora y Nuevo León; de las Direcciones de Educación Tecnológica Industrial (Dgeti), Agropecuaria (Dgeta) y de Tecnológicos (Dgit), entre muchos otros, apoyados principalmente por el Consejo del Sistema Nacional de Educación Tecnológica (Cosnet) y por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt), han enfocado sus baterías en esta dirección. Los productos de estas actividades pueblan el calendario académico de esa rama del saber humano conocida como Matemática Educativa.

Un gran porcentaje de estas investigaciones se enfoca a dar respuesta a las preguntas: ¿Cómo aprende el ser humano?. ¿Cómo construye su conocimiento?. En particular: ¿Cómo aprende matemáticas?. A partir de tal respuesta cabría encontrar la de la pregunta: ¿Cómo debemos enseñar la matemática para que el alumno la aprenda?. Finalmente esta es la que viene a dar satisfacción a la problemática que enfrenta el profesor en el aula, que no es especialista en la materia (¿debería serlo?), pero que enfrenta día a día los retos de enseñar matemáticas a jóvenes que, tal parece, no la quieren aprender.

Desgraciadamente los resultados de estas investigaciones no siempre arriban al destino que su origen les tiene reservado: Disminuir el índice de reprobación en matemáticas. En 25 años de profesor de Matemáticas en el Instituto Tecnológico de la Laguna, solamente se nos ha presentado una Propuesta Didáctica para enseñar matemáticas, que por cierto no fue bien vista por la academia.

Por ejemplo, en el IX Congreso Internacional de Investigación y Desarrollo Educativo en Educación Superior Tecnológica celebrado en Noviembre pasado en el Ciidet, se presentaron alrededor de 120 ponencias con propuestas o resultados obtenidos en investigación educativa. Siendo el Noveno Congreso, es fecha que no obstante que pertenecemos al mismo Subsistema, a nuestra Institución no ha llegado ninguna propuesta que nos ayude a alcanzar nuestro objetivo: Enseñar Matemáticas en forma eficiente.

Motivados por este contrasentido, en el Instituto Tecnológico de la Laguna estamos desarrollando el proyecto de investigación en Matemática Educativa llamado: Uso de la Tecnología Computacional en la Construcción del Pensamiento Variacional. El punto de partida es la hipótesis de que el problema del aprendizaje de las matemáticas es un problema de representación.

Este proyecto de investigación, al igual que todo aquel que pretenda ser considerado como tal, tenía que observar las reglas mínimas impuestas  por las instituciones administradoras de la investigación en nuestro país. Desde el simple protocolo para instrumentar el proyecto hasta los conocimientos especializados para realizarlo debían satisfacer tales requisitos. Protocolo aparte, tuvimos que estudiar aspectos relacionados con la Historia de la Ciencia, Historia de las Matemáticas, Teorías del Aprendizaje, Evaluación, Epistemología, Heurística, Metodología de la Investigación, Tecnología de la Enseñanza, etc.

En el proceso de construcción del andamiaje cognoscitivo que nos permitiera albergar expectativas de éxito en nuestra investigación, entramos en un proceso de disección del fenómeno educativo, el que, mediante la discusión, nos condujo a una reflexión sistemática y sistematizada acerca de cuestiones, aparentemente elementales, pero que para efectos de la enseñanza  son un puntal, sin el cual, el acto educativo generalmente desemboca en el fracaso.

Así, apoyados en una Teoría del Aprendizaje que soportara nuestro trabajo, aceptamos la naturaleza eminentemente social del conocimiento matemático. Vimos como una acción varias veces repetida, mediante la reflexión, puede conducir al hombre a tomar conciencia del elemento manipulado. Supimos lo que son las estructuras mentales y qué caracteriza al pensamiento algebraico, qué al geométrico, al probabilístico o al variacional. Esto nos arrojó cierta luz sobre porqué el alumno no entiende ni atiende las explicaciones del profesor. Estudiamos cómo afecta a la construcción del conocimiento matemático las preconcepciones del alumno. Le entramos a lo qué es y a como se adquiere el conocimiento significativo. Comprendimos porqué los intereses del alumno no siempre giran en torno a la adquisición de los conocimientos por los conocimientos mismos. Sus intereses particulares casi siempre son un lastre en el aprendizaje. Tomamos conciencia de la fenomenología que se da en el aula y experimentamos las desviaciones educativas que se manifiestan casi siempre a través de los efectos Topaz, Jourdan o el Deslizamiento Metacognoscitivo. Nos hablamos de usted con los teóricos de la Didáctica y los Historiadores de las Ciencias y con algunos ya casi nos tuteamos. Por Ejemplo con J. Piaget, G. Bachelard, R. Douady, G. Brousseau, A. Koyré, R. Duval, Santos Trigo, R. Cantoral, T. Rojano, R. Nemirovsky, etc.

Por supuesto que al ir avanzando en el conocimiento y manejo de los tópicos anteriores, el traslado de estos a la práctica en el aula fue inmediato, por lo que nuestro discurso se vio ampliamente enriquecido y así logramos altos niveles de motivación en el alumno para el aprendizaje de las matemáticas.

Por ejemplo, apoyándonos en el principio teórico llamado Juego de Marcos y haciendo uso de la gran versatilidad de la computadora, pudimos mostrarle al alumno diferentes caras del objeto a conocer haciendo énfasis en las características que cada enfoque nos proporcionaba. De esta manera, aproximándonos al objeto a conocer por diversas vías, obtuvimos información diferente, la que en conjunto nos permitió construir el conocimiento en forma más completa.

En una primera aproximación esto nos ha permitido disminuir el índice de reprobación. En el grupo en el que estamos trabajando el proyecto la reprobación disminuyó del 50% al 15%, no obstante que hemos incrementado sensiblemente el grado de dificultad de las evaluaciones.

El primer impulso fue ponderar el uso de la computadora como asistente efectivo de la enseñanza, sin embargo, analizando con más detenimiento el proceso, detectamos una cierta fenomenología, caracterizada, entre otros aspectos, por:

1.      Se elevó sensiblemente nuestra capacidad para construir estrategias didácticas.

2.      Lo mismo sucedió con nuestra capacidad para motivar al alumno.

3.      Pudimos crear en los alumnos el conflicto cognitivo, indispensable para  despertar el interés en el aprendizaje.

4.      Los grupos de trabajos los formamos orientados hacia la socialización del problema del conocimiento.

5.      Las tareas y los trabajos llevaban una orientación bien definida hacia el logro del aprendizaje.

6.      La interacción con el alumno, en el aula y fuera de ella, se dio de manera natural y más bien a exigencia de ellos.

7.      Igual sucedió con la interacción entre ellos mismo.

8.      Los reactivos de evaluación pretendían mostrar lo que en nuestro concepto debería saber el alumno, así como el nivel de conocimiento alcanzado.

9.      La revisión de las tareas, trabajos y reportes de laboratorio la hicimos con mucho cuidado, anotando en cada caso las deficiencias así como el procedimiento para subsanarlas; asimismo encomiamos los éxitos.

El comportamiento anterior lo alcanzamos como consecuencia de estudiar detenidamente el fenómeno de la enseñanza de las matemáticas desde el punto de vista teórico y su implementación en la práctica. En cierta forma incrementamos nuestra capacidad de enseñanza lo que nos condujo hacia el mejoramiento continuo. A este proceso de mejoramiento es a lo que llamamos Efecto Apolo.

Entonces, tal parece que el éxito que estamos alcanzando es mas bien producto de nuestra formación constante y de la concepción que hemos adquirido de lo que es el conocimiento matemático antes que del método mismo. Esto significa, en primera instancia, que el uso de la Tecnología Computacional en la Enseñanza es un elemento más en el proceso, pero que sin el concurso del profesor en un papel de coordinador, director o conductor de esfuerzos, su destino es el fracaso.